NDI 与 INDI 以及变体

## 非线性动态逆 (NDI) —— 从模型直接反解控制量

### 直觉

飞行控制的本质是：给定一个期望的运动（比如"我希望飞机以 30°/s 的速率滚转"），你要算出舵面该打多少度。

NDI 的做法很直接——把飞机的动力学模型"反过来用"。如果模型是准确的，那么从期望运动反推出的舵面指令就能精确实现目标。

### 推导

我们先把飞机写成一个**仿射系统**。仿射的意思是：状态的变化速率可以写成"仅与状态有关的部分 + 与控制输入成线性关系的部分"：

$$

\begin{align*}

\dot x &= f(x) + g(x) \, u \tag{1}\\

y &= h(x) \tag{2}

\end{align*}

$$

这里的符号：$x$ 是飞机的状态（速度、姿态角等），$u$ 是控制输入（舵面偏角、油门等），$y$ 是我们关心的输出（比如滚转速率）。

对输出求导，看看 $y$ 的变化由什么决定：

$$

\dot y = \frac{\partial h}{\partial x} \dot x

= \frac{\partial h}{\partial x} f(x) + \frac{\partial h}{\partial x} g(x) \, u \tag{3}

$$

这个式子的结构很清晰：$\dot y$ 由两部分组成——一部分是飞机自身动力学贡献的（$\frac{\partial h}{\partial x}f(x)$），另一部分是舵面贡献的（$\frac{\partial h}{\partial x}g(x)u$）。

现在给定一个**期望的输出变化率** $\dot y_{\text{des}} \triangleq v$，我们就可以反解出 $u$：

$$

u = \left( \frac{\partial h}{\partial x} g \right)^{-1}

\bigl( v - \frac{\partial h}{\partial x} f(x) \bigr) \tag{4}

$$

这个公式的含义很直观：先用 $v$ 减去飞机自身动力学的贡献（$v - \frac{\partial h}{\partial x}f(x)$），剩下的就是"需要舵面来产生的那部分效果"，再除以舵面的控制效能（$\frac{\partial h}{\partial x}g$），就得到了舵面指令。

### NDI 的两个硬性要求

从 (4) 可以直接看出：

1. 模型必须精确——$f(x)$ 和 $g(x)$ 如果差得远，算出的 $u$ 自然不准；

2. 系统必须是仿射的——$\frac{\partial h}{\partial x}g$ 必须可逆，如果 $u$ 不是线性进来的（非仿射），(4) 式根本没法写。

> 实际飞行器的动力学往往不能完美地写成仿射形式——比如气动系数本身就是舵面的非线性函数。这时候就需要另一种思路：**INDI**。

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## 增量非线性动态逆 (INDI) —— 不去硬算全部，只修正"差多少"

### 直觉

NDI 的痛点是：你必须精确知道 $f(x)$（飞机自身动力学）才能反解。如果模型不准，算出来的 $u$ 可能一塌糊涂。

INDI 换个思路：**我不从零开始算控制量，我只需要知道"比现在多打或少打多少舵面"就够了。** 这个"增量"可以靠传感器反馈来修正，大幅降低对模型的依赖。

### 推导

先写出更一般的系统（允许非仿射）：

$$

\begin{align*}

\dot x &= F(x, u) = f(x) + g(x, u) \tag{5}\\

y &= h(x) \tag{6}

\end{align*}

$$

对输出求导：

$$

\dot y = \frac{\partial h}{\partial x} \dot x

= \frac{\partial h}{\partial x} f(x) + \frac{\partial h}{\partial x} g(x, u)

= a(x) + b(x, u) \tag{7}

$$

这里关键的区别在于 $b(x, u) = \frac{\partial h}{\partial x}g(x, u)$——$u$ 不一定是线性出现的。

- 如果系统恰好是仿射的，$b(x,u) = \frac{\partial h}{\partial x}g(x)u$，依然可以像 NDI 那样直接求逆；

- 如果不是仿射的，$b(x,u)$ 对 $u$ 的依赖关系太复杂，直接求逆走不通。

这就是 INDI 要解决的问题。

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设定期望输出变化率 $\dot y_{\text{des}} \triangleq v$，则有 $v = a(x) + b(x, u)$。

INDI 的核心思路是：**在当前工作点 $(x_0, u_0)$ 附近做泰勒展开，只保留一阶项**。这相当于用一条切线去近似原来的曲线——不太准，但在工作点附近够用了：

$$

\begin{align*}

v &\approx v_0+ \left. \frac{\partial (a + b)}{\partial x} \right|_{x_0, u_0} (x - x_0)+ \left. \frac{\partial b}{\partial u}\right|_{x_0, u_0} (u - u_0) \triangleq v_0 + A_0 (x - x_0) + B_0 (u - u_0) \tag{8}

\end{align*}

$$

其中：

$$

A_0 = \left. \frac{\partial (a + b)}{\partial x} \right|_{x_0, u_0},

B_0 = \left. \frac{\partial b}{\partial u} \right|_{x_0, u_0}

$$

这里 $A_0$ 刻画了"状态变化对输出变化率的影响"，$B_0$ 刻画了"控制输入变化对输出变化率的影响"——也就是控制效能。

从 (8) 反解 $u$：

$$

u = u_0 + B_0^{-1} \bigl( v - v_0 - A_0 (x - x_0) \bigr) \tag{9}

$$

这个式子的含义是：**基准控制量 $u_0$ 加上一个修正量**。修正量里包含了三项信息——期望的变化 ($v$)、当前的变化 ($v_0$)、以及状态偏移可能带来的影响 ($A_0(x-x_0)$)。

### 关键简化：一个周期内状态变化很小

在飞控的典型采样周期（毫秒级）内，飞机状态不会突变，所以 $x \approx x_0$。令 $x - x_0 = 0$，(9) 大幅简化为：

$$

\boxed{ u = u_0 + B_0^{-1} (v - v_0) } \tag{10}

$$

这就是 INDI 的核心公式。 它只需要知道三样东西：

- $u_0$：上一时刻的控制输入（已知）；

- $v_0$：当前输出变化率的估计（可以通过传感器或模型获得）；

- $B_0$：当前的控制效能（可以从模型近似或在线辨识获得）。

跟 NDI 的 (4) 式对比：NDI 需要完整的 $f(x)$ 和 $g(x)$，而 INDI 只需要 $B_0$ 和 $v_0$。**模型依赖度大幅降低**。

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## INDI 和 NDI 什么时候等价？