INDI 与经典控制的等价性证明

变量定义：

采样周期 $t_s$（或 $T_s$）；

控制效能 $G$ / $g$ / $B$，其标称（标量）取 $\bar g$；

期望误差动态增益 $k_P, k_D$；

$e$ 为跟踪误差；

$\dagger$ 为 Moore–Penrose 伪逆；

$s$ 为拉氏算子，$z$ 为离散算子。

---

## 1. 简述 NDI 与 INDI

### 1.1 NDI 推导

考虑飞行器角速率动力学（欧拉方程整理后），它是"相对阶为 1 的输入仿射系统"的代表：

$$

\dot{\omega} = f(\omega) + G(\omega)\,\delta, \qquad y = \omega

\qquad (1)

$$

- $\omega\in\mathbb{R}^3$：角速率（状态=输出）；$\delta\in\mathbb{R}^3$：舵面偏角（控制输入）；

- $f(\omega)$：含气动力与惯性项的"状态相关部分"；

- $G(\omega)$：控制效能矩阵（舵面 → 角加速度的增益），假设可逆。

控制目标：让 $\omega$ 跟踪光滑指令 $y_d$。定义误差 $e = y_d - y$。

NDI（非线性动态逆）的两步：

设定期望的误差动态，取虚拟控制量$\dot \omega=v$：

$$

\nu = \dot{y}_d + k_P\, e

\qquad (2)

$$

由式 (1) 解出 $\delta$：

$$

\delta = G(\omega)^{-1}\,\bigl[\,\nu - f(\omega)\,\bigr]\\

=G(\omega)^{-1}\,\bigl[\,\dot y_d+K_p e - f(\omega)\,\bigr]

\qquad (3)

$$

把式 (3) 代回式 (1)：于是闭环 $\dot y = \nu = \dot y_d + k_P e$，即

$$

\dot{e} + k_P\, e = 0

\qquad (4)

$$

误差指数收敛到 0。

NDI 的本质：用 $f$ 和 $G$ 的精确模型"抵消"非线性，把对象变成纯积分器 $\dot y = \nu$。

NDI 的不足：式 (3) 显式用到 $f(\omega)$。$f$ 含气动项，实践中难以精确获取；$f$ 有误差，抵消就不完全，鲁棒性差。**INDI 就是为了去掉对 $f$ 的依赖而生。**

### 1.2 INDI 推导

对式 (1) 在"当前时刻附近"做一阶泰勒展开。取一个很小的时间延迟 $\lambda$（工程上取一个采样周期），记 $\omega_0=\omega(t-\lambda)$、$\delta_0=\delta(t-\lambda)$：

$$

\dot{\omega} \approx \dot{\omega}_0 + \underbrace{\frac{\partial f}{\partial \omega}\Big|_0 (\omega-\omega_0)}_{\text{状态缓变项}} + G_0\,(\delta - \delta_0)

\qquad (5)

$$

关键假设：控制频率足够高、$\lambda$ 足够小，使得 $f$ 在一个 $\lambda$ 内几乎不变，即

$$

\epsilon_{\mathrm{INDI}} \equiv f\bigl(\omega(t-\lambda)\bigr) - f\bigl(\omega(t)\bigr) \approx 0

\qquad (6)

$$

于是状态缓变项可以丢掉，式 (5) 简化为

$$

\Delta\dot{\omega} \approx G_0\,\Delta\delta

\qquad (7)

$$

即"角加速度的增量 ≈ 控制效能 × 控制增量"。令 $\dot\omega = \nu$ 解出 $\delta$，得 INDI 控制律：

$$

\boxed{\;\delta(t) = \delta(t-\lambda) + G_0^{-1}\,\bigl[\,\nu - \dot{\omega}(t-\lambda)\,\bigr]\;}

\qquad (8)

$$

对比式 (3) 与式 (8)：NDI 里是 $-f(\omega)$，INDI 里是 $-\dot\omega(t-\lambda)$。因为由式 (1) 在 $t-\lambda$ 时刻有 $\dot\omega(t-\lambda) = f(\omega_0) + G_0\delta_0$，即**测得的角加速度里"免费"包含了 $f$**。INDI 用一个测量值 $\dot\omega(t-\lambda)$（陀螺微分或加速度计）就把未知的 $f$ 顶替掉了，只留下相对好建模的 $G_0$。

### 1.3 标称写法

把式 (1) 改写，把控制效能里"选定一个标称标量 $\bar g$"单拎出来：

$$

\dot{\omega} = H + \bar{g}\,\delta, \qquad H \equiv f(\omega) + \bigl(G(\omega) - \bar{g}\bigr)\delta

\qquad (9)

$$

$H$ 把"所有不确定的东西"（$f$ 加上效能偏差 $(G-\bar g)\delta$）打包在一起。对式 (9) 重复 1.2 的推导，得不含 $G$、只含 $\bar g$ 的 INDI 律：

$$

\delta(t) = \delta(t-\lambda) + \bar{g}^{-1}\,\bigl[\,\nu - \dot{\omega}(t-\lambda)\,\bigr]

\qquad (10)

$$

这样控制律里**只有一个标量参数 $\bar g$** 需要整定

---

## 2. 等价性：INDI ≡ TDC ≡ PI（及 PID 变体）