eVTOL 电机转速推力建模：从拟合公式到推力响应

飞控系统里有个老问题：飞控说的"推重比"和总体说的"推重比"不是一回事，论证时经常被绕进去。飞控能测能控的是转速，总体关心的是推力，中间这条映射链不建出来，指标就只能停在定性层面。

变量定义：

- $T$：单桨推力（N）；

- $\Omega$：桨角速度（rad/s），$n$：桨转速（rev/s），$\Omega = 2\pi n$；

- $D,\ R$：桨直径、半径（m），$A=\pi R^2$ 为桨盘面积；

- $\rho$：空气密度（kg/m³）；

- $C_T$：无量纲推力系数；$c_t$：叶素理论推力系数；$c_F$：倾转旋翼推力系数；

- $k_T$：工程推力系数（含 $\rho$ 与几何，N·s²/rad²）；

- $\tau$：转速一阶响应时间常数（s）；

- $\zeta,\ \omega_n$：阻尼比、无阻尼自然频率；

- $\chi$：倾转角（推力轴与机体 $z$ 轴夹角）；

- $\lambda_a$：无量纲轴向入流比 $=w/(\Omega D)$；

- $M_p$：峰值超调量。

---

## 1. 稳态推力—转速模型

### 1.1 动量理论

动量理论把桨盘视为均匀加载的致动盘，悬停时诱导速度与推力满足 [1][3]：

$$

v_h = \sqrt{\frac{T_{i,h}}{2\rho A}} \tag{1}

$$

结合质量流量与动量变化，消去 $v_h$ 即得推力—转速二次关系。多旋翼建模文献普遍采用 [1][2]：

$$

T_i = b\,\omega_i^2 \quad\text{（角速度 rad/s 记号，[1]）} \tag{2}

$$

以 rev/s 表达的无量纲形式是工程通用写法 [2]：

$$

T_i = C_T\,\rho\, n^2\, D^4, \qquad b = C_T \rho D^4 \tag{3}

$$

这里要小心单位：式 (2) 的 $\omega_i$ 是 rad/s，式 (3) 的 $n$ 是 rev/s，差一个 $(2\pi)^2$ 因子。拿 10×5.5 英寸桨举例，$D=0.254$ m，实测 $C_T=0.121$，$\rho=1.255$ kg/m³ 时 $b=6.317\times10^{-4}$（rev/s 制）[2]。

### 1.2 叶素理论

叶素理论从桨叶微元升力积分出发，在**等弦长、线性扭转、均匀入流**假设下 [1, Eq. 9]：

$$

T_i = c_t\,\rho\,\pi R_p^4\,\omega_i^2 \tag{4}

$$

$$

c_t = \frac{n_b c a}{4\pi R_p}\left(\beta_t - \frac{v_h \pm V}{\omega R_p}\right) \tag{5}

$$

$n_b$ 是桨叶数，$c$ 是弦长，$a$ 是升力线斜率，$\beta_t$ 是桨尖安装角 [1, Eq. 10]。重点在于 $c_t$ 不是常数，它随来流 $V$ 和诱导速度 $v_h$ 变化——前飞和倾转时"推力系数漂移"的物理根源就在这里；前飞时 $c_t$ 还会多出前进比项 [1, Eq. 11]。

### 1.3 工程拟合模型

将式 (3) 由 rev/s 制换算为 rad/s 制，定义**工程推力系数**：

$$

k_T = \frac{C_T \rho D^4}{(2\pi)^2} = \frac{C_T \rho D^4}{4\pi^2} \tag{6}

$$

稳态推力模型统一为：

$$

\boxed{\,T = k_T\,\Omega^2\,} \tag{7}

$$

这就是后面所有推导的地基。工程上也是这么干的，二次曲线是标配：

- PX4 的油门—推力模型：$F/F_{max} = f\,T^2 + (1-f)\,T$，$f$ 为二次项权重（THR_MDL_FAC），转速控制型电调取 $f=1$ 即为纯二次 [12]；

- CTU MRS 平台通过台架实测"油门—推力"数据点，最小二乘拟合二次曲线，至少 3 个测量点 [11]。

### 1.4 行业方案对照：各构型如何用转速换推力